推薦好書：《實變函數(shù)》張建平 丘京輝

sbhsl

人人都知道實變函數(shù)難學難懂。
學好實變函數(shù)的第一關鍵是選一本好的教材。
讀一本好的教材就能夠事半功倍。
強烈推薦：《實變函數(shù)》，張建平 丘京輝，東南大學出版社，2009年5月出版。
這是一本寫得相當精練的實變函數(shù)教材，對理論體系作了精心合理的安排，對定理證明采用簡潔易懂的方式，其中部分定理的證明是新穎獨特的。
雖然全書篇幅不長，但是卻包含了那些“大部頭”實變函數(shù)專著的基本內容，而在不少方面（例如開集、閉集、函數(shù)的連續(xù)性、勒貝格積分與黎曼積分的關系等）比那些“大部頭”專著講得更為透徹。
該書還有一個特色：每一章還專門附有一節(jié)例題選講，對很多典型題目給出簡潔和新穎的證明。
該書既適合初學者作為教材或參考資料，也非常適合考研者作為復習資料。
相信你看了一定會說好。

[ 本帖最后由 sbhsl 于 2009-11-3 11:32 編輯 ]

sbhsl

北京大學周民強的《實變函數(shù)》是一本公認的好書，但是要讀通這本書要化費極大的精力。
如果學習時間緊張，希望找一本寫得精練的教材，那么看張建平丘京輝的《實變函數(shù)》會事半功倍。

舉幾個例子比較一下。
周民強書上的定理1.7（可列個可列集之并為可列集），證明要一定的篇幅，而該書給出的證明僅二行半（定理1.4.3）。
周民強書上的定理1.10（[0，1]不是可數(shù)集），證明要大半頁，而該書給出的證明僅一行（定理1.5.3）。
周民強書上的定理1.1.7（Cantor閉集套定理），證明要一定的篇幅，并且讀者自己還要補充某些細節(jié)的證明，而該書給出的證明僅三行（定理2.4.3），而讀者不須再補充什么東西。
周民強書上的定理2.4（距離外測度性質），證明較長（還要先證明引理2.3），而該書給出的證明僅三行（命題3.4.8），且不需要引理。
在“點集間的距離”一節(jié)中，周民強先給出定理1.24及其證明，再給出推論1.26（無證明），若要給出推論1.26的證明，則要按照定理1.24的思路再來一次。而在該書中，先給出周書推論1.26的簡潔證明（定理2.6.1），再把周書定理1.24作為其推論，這時理由是極為簡單的，真的用不著寫出來。

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周民強書定理1.27（連續(xù)延拓）的證明使用了下述命題。

若A和B是互不相交的非空閉集，則存在Rn上的連續(xù)函數(shù)f(x),滿足條件：
（1）在A上,f(x)=0；（2）在B上,f(x)=1；（3）在其他地方，0<f(x)<1.

但是周民強書中，那兩個構造出來的閉集不一定滿足“非空”的條件！
再看看其他實變函數(shù)教材，絕大多數(shù)也是這樣的傳統(tǒng)證明。
似乎唯一的例外是中國科技大學徐森林的書，他為了修補這個漏洞，把原來的函數(shù)做上下“平移”，然后對新函數(shù)構造出來的閉集滿足“非空”的條件。但是整個證明就變得相當復雜，化了整整兩頁。
而在張建平丘京輝的書中，使用一個小小的技巧修補了傳統(tǒng)證明，既簡潔又嚴謹。