推薦好書(shū)：《實(shí)變函數(shù)》張建平 丘京輝

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人人都知道實(shí)變函數(shù)難學(xué)難懂。
學(xué)好實(shí)變函數(shù)的第一關(guān)鍵是選一本好的教材。
讀一本好的教材就能夠事半功倍。
強(qiáng)烈推薦：《實(shí)變函數(shù)》，張建平 丘京輝，東南大學(xué)出版社，2009年5月出版。
這是一本寫(xiě)得相當(dāng)精練的實(shí)變函數(shù)教材，對(duì)理論體系作了精心合理的安排，對(duì)定理證明采用簡(jiǎn)潔易懂的方式，其中部分定理的證明是新穎獨(dú)特的。
雖然全書(shū)篇幅不長(zhǎng)，但是卻包含了那些“大部頭”實(shí)變函數(shù)專著的基本內(nèi)容，而在不少方面（例如開(kāi)集、閉集、函數(shù)的連續(xù)性、勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系等）比那些“大部頭”專著講得更為透徹。
該書(shū)還有一個(gè)特色：每一章還專門(mén)附有一節(jié)例題選講，對(duì)很多典型題目給出簡(jiǎn)潔和新穎的證明。
該書(shū)既適合初學(xué)者作為教材或參考資料，也非常適合考研者作為復(fù)習(xí)資料。
相信你看了一定會(huì)說(shuō)好。

[ 本帖最后由 sbhsl 于 2009-11-3 11:32 編輯 ]

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北京大學(xué)周民強(qiáng)的《實(shí)變函數(shù)》是一本公認(rèn)的好書(shū)，但是要讀通這本書(shū)要化費(fèi)極大的精力。
如果學(xué)習(xí)時(shí)間緊張，希望找一本寫(xiě)得精練的教材，那么看張建平丘京輝的《實(shí)變函數(shù)》會(huì)事半功倍。

舉幾個(gè)例子比較一下。
周民強(qiáng)書(shū)上的定理1.7（可列個(gè)可列集之并為可列集），證明要一定的篇幅，而該書(shū)給出的證明僅二行半（定理1.4.3）。
周民強(qiáng)書(shū)上的定理1.10（[0，1]不是可數(shù)集），證明要大半頁(yè)，而該書(shū)給出的證明僅一行（定理1.5.3）。
周民強(qiáng)書(shū)上的定理1.1.7（Cantor閉集套定理），證明要一定的篇幅，并且讀者自己還要補(bǔ)充某些細(xì)節(jié)的證明，而該書(shū)給出的證明僅三行（定理2.4.3），而讀者不須再補(bǔ)充什么東西。
周民強(qiáng)書(shū)上的定理2.4（距離外測(cè)度性質(zhì)），證明較長(zhǎng)（還要先證明引理2.3），而該書(shū)給出的證明僅三行（命題3.4.8），且不需要引理。
在“點(diǎn)集間的距離”一節(jié)中，周民強(qiáng)先給出定理1.24及其證明，再給出推論1.26（無(wú)證明），若要給出推論1.26的證明，則要按照定理1.24的思路再來(lái)一次。而在該書(shū)中，先給出周書(shū)推論1.26的簡(jiǎn)潔證明（定理2.6.1），再把周書(shū)定理1.24作為其推論，這時(shí)理由是極為簡(jiǎn)單的，真的用不著寫(xiě)出來(lái)。

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周民強(qiáng)書(shū)定理1.27（連續(xù)延拓）的證明使用了下述命題。

若A和B是互不相交的非空閉集，則存在Rn上的連續(xù)函數(shù)f(x),滿足條件：
（1）在A上,f(x)=0；（2）在B上,f(x)=1；（3）在其他地方，0<f(x)<1.

但是周民強(qiáng)書(shū)中，那兩個(gè)構(gòu)造出來(lái)的閉集不一定滿足“非空”的條件！
再看看其他實(shí)變函數(shù)教材，絕大多數(shù)也是這樣的傳統(tǒng)證明。
似乎唯一的例外是中國(guó)科技大學(xué)徐森林的書(shū)，他為了修補(bǔ)這個(gè)漏洞，把原來(lái)的函數(shù)做上下“平移”，然后對(duì)新函數(shù)構(gòu)造出來(lái)的閉集滿足“非空”的條件。但是整個(gè)證明就變得相當(dāng)復(fù)雜，化了整整兩頁(yè)。
而在張建平丘京輝的書(shū)中，使用一個(gè)小小的技巧修補(bǔ)了傳統(tǒng)證明，既簡(jiǎn)潔又嚴(yán)謹(jǐn)。